Python工程数学7VPython制作3D图形和动画(下)摆动动画

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7.4 摆动动画

从静止位置偏转的摆会产生摆动。这些摆动和其他运动一样可以制作动画。
在制作摆的运动动画时，必须首先建立描述摆运动的微分方程系统。
然后在动画循环中使用简单的求和算法求解该微分方程系。根据微分方程系的解，可以计算出摆锤的 x-y 位置。

7.4.1 单摆

理想单摆（数学摆）的运动可以用下面的微分方程来描述：

接下来，我们将使用下面的代换：

因此，您将得到一个包含两个一阶微分方程的微分方程系统：

由于精度对于动画并非绝对必要，算法的效率才是最重要的，因此使用欧拉法是求解该微分方程系的便捷方法。

下例演示了单摆的运动。微分方程系在动画循环中使用欧拉法的求和算法求解。摆锤由代表螺纹的圆柱体对象（圆柱体）和代表质量的球体对象（球体）组成。

#18_pendulum.py
from vpython import *
y0=-5. #shift on the y-axis
b=5. #width of the ceiling
l=8. #length of the pendulum
phi=45. #deflection
r=0.5 #radius of the sphere
scene.width=600
scene.height=600
scene.center =vector(0,y0,0)
scene.range=1.5*b
scene.background = color.white
box(size=vector(b,b/20.,b/2.),color=color.gray(0.8)) #ceiling
rod=cylinder(axis=vector(0,l,0),radius=0.05)
mass = sphere(radius=r,color=color.red)
mass.pos=vector(0,rod.pos.y,0)
g=9.81 #gravitational acceleration
w02=g/l  #square of the angular frequency
phi=radians(phi)
w=0. #initial angular velocity
dt=0.02
while True:
    rate(100)
    phi=phi+w*dt
    w=w-w02*sin(phi)*dt
    x= l*sin(phi)
    y=-l*cos(phi)
    rod.axis=vector(x,y,0)
    mass.pos  =vector(x,y,0)

第6行定义了偏转角 phi。利用和算法 phi=phi+wdt 和 w=w-w02sin(phi)*dt 在动画循环（第 22 至 29 行）中求解摆运动的微分方程系（第 24 和 25 行）。第 26 和 27 行计算当前球体位置的 x 和 y 坐标。第 28 和 29 行更新杆和球体的位置。

7.4.2 弹簧摆

弹簧摆的摆动运动可以用以下微分方程描述：

通过代换可以得到以下微分方程系：

下例展示了弹簧-质量系统的摆动。质量由一个球形物体表示。

#19_spring_pendulum.py
from vpython import *
y0=-5. #shift on the y-acis
b=8.   #width of the ceiling
l=0.8*y0 #length of the spring
r=1.#radius of the mass
c=1.#spring constant
m=1.#mass of the sphere
scene.width=600
scene.height=600
scene.center =vector(0,y0,0)
scene.background = color.white
box(pos=vector(0,b/40.,0),size=vector(b,b/20.,b/2.),
color=color.gray(0.8)) #ceiling
spring=helix(axis=vector(0,l,0),radius=0.6,color=color.yellow)
spring.thickness=0.2
spring.coils=8
mass=sphere(pos=spring.pos,radius=r,color=color.red)
w02=c/m   #square of the angular frequency
y=-0.6*l #deflection
v=0. #initial velocity
dt=0.02
while True:
    rate(100)
    y=y+v*dt
    v=v-w02*y*dt
    spring.axis=vector(0,y+l,0)
    mass.pos =vector(0,y+l-r,0)

第 03 和 11 行将坐标原点向上移动了 5 个长度单位。第 05 至 08 行定义了弹簧摆的数据。
在第 14 行中，helix() 方法创建了弹簧对象 spring。第 15 和 16 行补充了弹簧对象的属性。第 17 行中，sphere() 方法创建了球体对象质量。
挠度（初始值）设置为弹簧长度 l 的 60%（第 19 行）。
在无限循环中（第 22 行至第 27 行），使用欧拉方法求解微分方程系统（第 24 行和第 25 行）。
第 26 和 27 行更新了弹簧末端和球心的位置。

7.5 事件处理

对于事件处理，VPython 还提供了命令按钮（按钮）、单选按钮（单选）、多选选项（复选框和菜单）和滑块（滑块）等控件。
对于每个事件，都必须定义一个函数来执行相关操作。事件总是按照以下模式实现的：control(bind=function, ...)

控件标识符可以是一个控件的名称，如按钮、滑块、复选框或单选按钮。为使 controlelement 方法能够触发事件，必须将一个自定义函数作为参数传递给该方法。该函数将分配给绑定属性。自定义函数的括号必须省略。所有其他参数取决于控件的类型。下例显示了如何使用滑块()方法改变电压指针的旋转频率。复选框()方法可以激活以双倍频率旋转的功率指针。button()方法可用于暂停和重启动画。

#20_event-processing.py
from vpython import *
scene.title="<h2>Rotating voltage and power pointer</h2>"
scene.width=scene.height=600
scene.background=color.white

runs = True
col=color.yellow

def start(b):
    global runs
    runs = not runs
    if runs: b.text = "Pause"
    else: b.text = "Start"

def omega(s):
    txtA.text = "{:1.2f}".format(s.value)

def visibleP(b):
    if b.checked:
        p.visible = True
    else:
        p.visible = False

u_s=2.
p_s=1.5
d=0.025
scene.range = 1.2*u_s
u=arrow(pos=vec(0,0,0),axis=vec(0,u_s,0),color=color.blue)
p=arrow(pos=vec(0,0,0),axis=vec(p_s,0,0),color=col)
p.visible=False
u.shaftwidth=d
p.shaftwidth=d
button(text="Pause",pos=scene.title_anchor,bind=start)
scene.append_to_caption("\n\n")
scene.caption="\n Change frequency:\n\n"
sldF=slider(min=0,max=6.28,value=1,length=300,bind=omega,right=4)
txtA=wtext(text="{:1.2f}".format(sldF.value))
scene.append_to_caption(" rad/s\n\n")
checkbox(bind=visibleP, text="Show power pointer\n\n")
dt=0.01
w=1.
while True:
    rate(1/dt)
    if runs:
        w=sldF.value
        u.rotate(angle=w*dt,axis=vec(0,0,1))
        p.rotate(angle=2.0*w*dt,axis=vec(0,0,1))

如果全局 runs 变量的值（第 07 和 11 行）为 True，动画将在 while 循环（第 43 至 48 行）中执行。如果要暂停动画，必须单击 “暂停 ”按钮。然后，按钮的标签将变为 Start（开始）。在这种情况下，第 34 行的 button() 方法会调用第 10 至 14 行的自定义 start(b) 函数。命令按钮位于场景的左上角。start(b) 函数通过 bind=start 调用。函数定义的括号和函数参数 b 必须省略。
在第 37 行中，slider() 方法调用了第 16 和 17 行中的自定义 bind=omega 函数。设置值存储在 sldF
对象中，并显示在第 38 行的 txtA 文本字段中。在第 46 行，使用 w=sldF.value 赋值改变旋转频率。
第 40 行的 checkbox(bind=visible,...) 方法调用了第 19 至 23 行的自定义函数 visible(b)。如果激活复选框控件，电源指针就会打开。

参考资料

• 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞，谢谢！
• 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞！ https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
• python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
• Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

7.6 项目任务:耦合弹簧摆的动画

在此任务中，我们需要在 VPython 中制作一个耦合弹簧摆的振荡动画，该摆由两个弹簧-质量系统组成，弹簧常数为 c1 和 c2，质量为 m1 和 m2。弹簧-质量系统沿 y 轴方向摆动。阻尼应暂时忽略。
该解决方案包括三个步骤：

1. 建立微分方程系统：

2. 使用以下代换将该方程系统转换为一阶微分方程系统：
   并由此得到以下一阶微分方程系：

3. 利用欧拉法建立微分方程系的求解算法：
   

from vpython import *

y0 = -5.  # shift on the y-axis
b = 10.  # width of the ceiling
r = 1.  # radius of the mass
l = 0.9 * y0
c1 = 1.  # spring constant
m1 = 1.  # mass of the sphere
c2 = 1.
m2 = 1.
scene.width = 600
scene.height = 800
scene.center = vector(0, 2 * y0, 0)
scene.background = color.white

box(pos=vector(0, b / 40., 0), size=vector(b, b / 20., b / 2.),
     color=color.gray(0.8))  # ceiling

# 计算弹簧 1 的底部和顶部端点
spring1_bottom = vector(0, 0, 0)
spring1_top = spring1_bottom + vector(0, l, 0)

spring1 = helix(pos=spring1_bottom, axis=spring1_top - spring1_bottom,
                 color=color.yellow, radius=0.5 * r, thickness=0.2, coils=10)

mass1 = sphere(pos=spring1_top, radius=r, color=color.red)

# 类似地计算弹簧 2 的端点
spring2_bottom = spring1_top
spring2_top = spring2_bottom + vector(0, l, 0)

spring2 = helix(pos=spring2_bottom, axis=spring2_top - spring2_bottom,
                 color=color.green, radius=0.5 * r, thickness=0.2, coils=10)
mass2 = sphere(pos=vector(0,2*l,0),radius=r, color=color.blue)
y1=-0.6*l #deflection
y2=0
v1=v2=0 #initial velocity
lk=l-r
dt=0.02
while True:
    rate(50)
    y1=y1 + v1*dt
    v1=v1-(c1+c2)/m1*y1*dt+c2/m1*y2*dt #-0.05*v1*dt
    y2=y2 + v2*dt
    v2=v2-c2/m2*(y2-y1)*dt #-0.05*v2*dt
    spring1.axis=vector(0,y1+l,0)
    mass1.pos =vector(0,y1+lk,0)
    spring2.axis=vector(0,y1+y2+l,0)
    spring2.pos.y =mass1.pos.y
    mass2.pos =spring2.pos+vector(0,y1+y2+lk,0)

7.7 项目任务： 两个耦合简单摆的动画

对于接下来的任务，我们需要制作一个摆系统的动画，该摆系统由两个简单的数学摆组成，其质量 m 通过弹簧（弹簧常数 c）连接。首先，您必须再次建立弹簧-质量系统的微分方程系统：

然后，使用下面的代换：

因此，您将得到下面的一阶微分方程系：

使用缩写

并根据欧拉法从一阶微分方程系统中开发出算法
一阶微分方程系：

#22_double_pendulum.py
from vpython import *
phi1=radians(-5.)
phi2=radians(5.)
b=12.   #width of the ceiling
y0=-b/2.#shift on the y-axis
a=b/2.  #distance between the pendulums
l=0.9*b #length of the pendulums
r=b/15. #radius of the spheres
m=10.   #mass of the spheres
c=4. #spring constant
scene.width=600
scene.height=600
scene.center=vector(0,y0,0)
scene.range=0.8*b
scene.background = color.white
box(size=vector(b,b/20.,b/4.),color=color.gray(0.8)) #ceiling
rod1=cylinder(axis=vector(0,l,0),radius=0.05)
rod1.pos=vector(-a/2.,0,0)
rod2=cylinder(axis=vector(0,l,0),radius=0.05)
rod2.pos=vector(a/2.,0,0)
mass1 = sphere(radius=r,color=color.red)
mass2 = sphere(radius=r,color=color.blue)
spring=helix(axis=vector(a,0,0),radius=0.4)
spring.thickness=0.1
spring.coils=10
g=9. #gravitational acceleration
w02=g/l  #pendulum frequency
k=c/m    #spring frequency
w1=w2=0 #angular velocity
dt=0.02
while True:
    rate(100)
    phi1=phi1+w1*dt
    w1=w1-w02*phi1*dt+k*(phi2-phi1)*dt #-0.05*w1*dt
    phi2=phi2+w2*dt
    w2=w2-w02*phi1*dt-k*(phi2-phi1)*dt #-0.05*w2*dt
    x1= l*sin(phi1)
    y1=-l*cos(phi1)
    x2= l*sin(phi2)
    y2=-l*cos(phi2)
    rod1.axis=vector(x1,y1,0)
    mass1.pos =vector(x1-a/2.,y1,0)
    rod2.axis=vector(x2,y2,0)
    mass2.pos =vector(x2+a/2.,y2,0)
    spring.pos=mass1.pos+vector(r,0,0)
    spring.axis.x=x2-x1+a-2*r
    spring.axis.y=y2-y1 

在第 03 和 04 行，您可以改变两个摆的偏转角 phi1 和 phi2。
第 10 和 11 行定义了摆锤的质量和耦合弹簧的弹簧常数。
第 34 至 37 行求解了微分方程系统。测试时可将其删除。
在第 38 至 41 行，根据偏转角 phi1 和 phi2 计算当前的 x-y 坐标。
在第 42 至 48 行，为每个摆锤和耦合弹簧分配当前位置。

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