牛顿插值法【python，算法】

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牛顿插值法是一种构建插值多项式的方法，它利用一系列已知的数据点来估算区间内任意点的函数值。这种方法的特点是通过计算差商（divided differences）来逐步构建插值多项式，具有较好的计算效率和承袭性，即在添加或删除数据点时，可以基于已有计算结果进行调整，无需完全重新计算。

基本步骤如下：

1. 定义差商
   f ( x 0 , x 1 , . . . . , x n ) = f ( x 1 , x 2 , . . . . . , x n ) − f ( x 0 , x 1 , . . . . . , x n − 1 x n − x 0 f(x_0,x_1,....,x_n)=\frac{f(x_1,x_2,.....,x_n)-f(x_0,x_1,.....,x_{n-1}}{x_n-x_0} f(x0​,x1​,....,xn​)=xn​−x0​f(x1​,x2​,.....,xn​)−f(x0​,x1​,.....,xn−1​​
2. 构造插值多项式
   P n ( x ) = f ( x 0 ) + ∑ i = 1 n f ( x 0 , x 1 , . . . , x i ) ∏ k = 0 i − 1 ( x − x k ) P_n(x)=f(x_0)+\sum\limits_{i=1}^{n}f(x_0,x_1,...,x_i) \prod\limits_{k=0}^{i-1}(x-x_k) Pn​(x)=f(x0​)+i=1∑n​f(x0​,x1​,...,xi​)k=0∏i−1​(x−xk​)
3. 插值过程
   • 从最低阶差商开始计算，逐步向上计算更高阶的差商。
   • 根据计算出的差商构造最终的插值多项式。
   • 计算$x$的估计函数值 P n ( x ) P_n(x) Pn​(x)。

以下是牛顿插值法的 Python 实现：

import numpy as np


def newton_interpolation(x_points, y_points, target_x):
    n = len(x_points)
    # 初始化差商表
    divided_diff = np.zeros((n, n))
    if len(y_points) != n:
        raise ValueError('x_points and y_points must have the same length')
    # 第 0 列初始化为 y_points
    divided_diff[:, 0] = y_points
    # 计算 i 阶差商
    for i in range(1, n):
        for j in range(n - i):
            divided_diff[j, i] = (divided_diff[j + 1, i - 1] - divided_diff[j, i - 1]) / (x_points[j + i] - x_points[j])

    # 根据差商计算插值
    result = y_points[0]
    for i in range(1, n):
        # 第 i 阶差商
        p = divided_diff[0, i]
        # 计算 x-x_j,将所有的结果相乘
        for j in range(i):
            p *= (target_x - x_points[j])
        result += p
    return result


# 测试验证
x_points = [1, 2, 3, 4]
y_points = [1, 4, 9, 16]
print(newton_interpolation(x_points, y_points, 5))

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