图--最小生成树（Prim&&Kruskal）

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最小生成树的定义

图的生成树（Spanning Tree）：如果无向连通图 G 的一个子图是一棵包含图 G 所有顶点的树，则称该子图为 G 的生成树。

一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。

图的生成树不唯一。从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树。

最小生成树：在无向连通图的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

为了找到无向图的最小生成树，常用的算法有【Prim算法】和【Kruskal算法】。

Prim算法

Prim算法的思想是选择一个起始顶点，逐步选择与已经构建的树连接的最短边，直到包含所有的顶点为止。

实现步骤：

1. 将图G 中所有的顶点V 分为两个顶点集合A​ 和 B​。其中A​ 为已经加入到最小生成树的顶点集合，B​ 是还未加入生成树的顶点集合。
2. 选择起始顶点start，将其加入到最小生成树的顶点集合A​ 中。
3. 从A​ 的顶点集合中选择一个顶点 u，然后找到连接顶点 u 与B​ 之间的边中权重最小的边。
4. 让上一步中找到的顶点和边加入到生成树的顶点集合MST 中，更新MST 的顶点集合和边集合。
5. 重复第 3∼4步，直到 MST 的顶点集合中包含了图中的所有顶点为止。

选择A作为起始顶点，选择权值最小的边A->C，将C标记为已访问，然后从{A，C}中选择一条与未访问的节点集合{B，E，F，D}的权值最小的边C->F,重复以上，直到所有的顶点都已访问

#define MAXSIZE 100

struct tempVaria
{
	int adjvex;     //存放某一条边的起点值
	int lowcost;     //存放以i为终点的的边的最小的权值
};

void Prim(int v)//连接整个图的最小生成树
{
	int sum=0;
	struct tempVaria shortEdge[MAXSIZE];

	for (int i = 0; i < vertexNum; i++)    //初始化数组shortEdge
	{
		shortEdge[i].lowcost = arc[v][i];    //以v为起点，到其他节点的权值
		shortEdge[i].adjvex = v;    //将起点设置为v
	}
	shortEdge[v].lowcost = 0;


	for(int i = 0; i < vertexNum ; i++)
	{
        if (v == i)
            continue;

		int min=inf;
		int k = 0;    //权值最小的边的顶点
		int j = 0;
		while (j< vertexNum)//寻找权值最小的边的下标
		{    
            //节点未访问并且到该节点的权值小于min
			if (shortEdge[j].lowcost != 0 && shortEdge[j].lowcost < min)
			{
				min = shortEdge[j].lowcost;
				k = j;
			}
			j++;
		}
		shortEdge[k].lowcost = 0;    //将顶点加入集合
		sum += min;

		for (j = 0; j < vertexNum; j++)    //更新数组shortEdge
		{
            //更新已访问集合到未访问节点的最小权值
			if (shortEdge[j].lowcost!=0&&arc[k][j] < shortEdge[j].lowcost)
			{
				shortEdge[j].lowcost = arc[k][j];
				shortEdge[j].adjvex = k;
			}
		}
		
		
	}
	cout << "最小生成树的权值之和为" << sum << endl;
	
}

Kruskal算法

1. 将图中所有边按照权重从小到大进行排序。
2. 将每个顶点看做是一个单独集合，即初始时每个顶点自成一个集合。
3. 按照排好序的边顺序，按照权重从小到大，依次遍历每一条边。
4. 对于每条边，检查其连接的两个顶点所属的集合：
   1. 如果两个顶点属于同一个集合，则跳过这条边，以免形成环路。
   2. 如果两个顶点不属于同一个集合，则将这条边加入到最小生成树中，同时合并这两个顶点所属的集合。
5. 重复第 3∼4步，直到最小生成树中的节点数等于所有节点数减 1 为止。

#include<iostream>
using namespace std;

const int Maxver = 10;
const int Maxedge = 100;

//存储每一条边的起点，终点和权值
struct EdgeType
{
	int start, end;
	int weight;

    //重载比较运算符，比较边的大小
	bool operator<(const EdgeType& a)
	{
		return weight < a.weight ?true:false;
	}
};

class Graph
{
public:
	Graph(char *,int ,int);
    
    //查找顶点在顶点数组中对应的下标
	int Locatevex(const char& a)
	{
		for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
		{
			if (vertex[i] == a)
				return i;
		}
		return -1;
	}

	void Kruskal();

private:
	char vertex[Maxver];
	EdgeType edge[Maxedge];
	int vertexNum, edgeNum;
	
};

Graph::Graph(char* Vv, int vertexNum, int edgeNum)
{
	this->vertexNum = vertexNum;
	this->edgeNum = edgeNum;
	for (int i = 0; i < this->vertexNum; i++)
	{
		vertex[i] = Vv[i];
	}
	cout << "输入各边的起点、终点、权值" << endl;
	for (int i = 0; i < this->edgeNum; i++)
	{
		char a, b;
		int weight;
		cin >> a >> b >> weight;
		int vi = Locatevex(a);
		int vj = Locatevex(b);
		edge[i].start = vi;
		edge[i].end = vj;
		edge[i].weight = weight;

	}

	for (int i = 1, j; i < edgeNum; i++)
	{
		EdgeType temp = edge[i];
		for (j = i; j > 0 && temp < edge[j - 1]; j--)
		{
			edge[j] = edge[j - 1];
			edge[j-1] = temp;
		}
	}

}

int findRoot(int parent[], int v)
{
	int temp = v;
	while (parent[temp] != -1)
	{
		temp = parent[temp];
	}
	return temp;
}

void Graph::Kruskal()
{
	int parent[Maxver];
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
	{
		parent[i] = -1;    //将每个节点看作独立集合
	}

    int num=0;    //节点数量
	for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
	{   //查找第i条边的起点和终点是否在同一个集合中
		int vex1 = findRoot(parent, edge[i].start);
		int vex2 = findRoot(parent, edge[i].end);
		if (vex1 != vex2)
		{
			cout << '(' << vertex[edge[i].start] << ',' << vertex[edge[i].end ]<< ')' << " ";
			parent[vex2] = vex1;
			num++;
			if (num == vertexNum - 1)
			{
				return;
			}

		}
		
	}
}
int main()
{
	char V1[10] = { 'A','B','C','D','E','F' ,'G'};
	Graph G1(V1, 7, 12);
	G1.Kruskal();

	return 0;
}

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