相关分析——皮尔逊相关系数、t显著性检验及Python实现

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一、相关分析

（1）衡量事物之间或称变量之间线性相关程度的强弱，并用适当的统计指标表示出来的过程。

（2）比如家庭收入和支出、一个人所受教育程度与其收入、子女身高和父母身高的相关性。

二、相关系数

（1）衡量变量之间相关程度的一个量值。

（2)相关系数r的数值范围是在-1到+1之间。

（3）相关系数r的正负号表示变化方向。（“+”号表示变化方向一致，“-”号表示变化方向相反）

举个例子：当父母身高越高子女身高越高，这呈现的是正相关；当父母身高越高子女身高越低，这呈现的是负相关。

（4）r的绝对值表示变量之间的密切程度（即强度）。绝对值越接近1，表示两个变量之间关系越密切；越接近零，表示两个变量之间关系越不密切。

（5）相关系数的值，仅仅是一个比值。它不是由相单位度量而来（即不等距），也不是百分比，因此，不能直接作加、减、乘、除运算。

（6）相关系数只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，并不能揭示二者之间的内在本质联系，即存在相关的两个变量，不一定存在因果关系。

                                                                            

 三、连续变量的相关分析

（1）连续变量即数据变量，它的取值之间可以比较大小，可以用加减法计算出差异的大小。如“年龄”、“收入”、“成绩”等变量。

(2)当两个变量都是正态连续变量，而且两者之间呈线性关系时，通常用Pearson相关系数来衡量。

四、Pearson相关系数

（1）协方差：

协方差是一个反应两个随机变量相关程度的指标，如果一个变量跟随着另一个变量同时变大或者变小，那么这两个变量的协方差就是正值。

（2）公式：

 

虽然协方差能反映两个随机变量的相关程度（协方差大于零表示两者正相关，小于零表示两者负相关），但是协方差值的大小并不能很好的度量两个随机变量的关联程度。

在二维空间中分布着一些数据，我们知道数据点坐标X轴·Y轴的相关程度，如果X与·Y

 的相关性较小但数据分布的比较离散，这样会导致求出的协方差值较大，用这个度量相关程度是不合理的，因此捏，引入Pearson相关系数，在原来基础上除以两个随机变量的标准差。

（3）皮尔森相关系数公式：

 （4）np.corrcoef(a)可计算行与行之间的相关系数。np.corrcoef(a,rowvar=0)用于计算各列之间的相关系数。

代码：

import numpy as np
paopao=np.array([
    [10,10,8,9,7],
    [4,5,4,3,3],
    [3,3,1,1,1]
])
print(paopao)
print(np.corrcoef(paopao))
np.corrcoef((paopao),rowvar=0)

结果加解释： （对称矩阵哈）

 五、相关系数的显著性检验

假设：

统计量： 

计算出来t看其是否落在拒绝域内，进行判断。 

代码：

import scipy.stats as stats
import scipy
x=[10.35,6.24,3.18,8.46,3.21,7.65,4.32,8.66,9.12,10.31]
y=[5.1,3.15,1.67,4.33,1.76,4.11,2.11,4.88,4.99,5.12]
correlation,pvalue=stats.stats.pearsonr(x,y)
print('correlation:',correlation)
print('pvalue:',pvalue)

 结果：

看出远小于所以落在了接受域内。 

 

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